超凡漫威：第3章 阿列夫宇宙和超限数
第3章 阿列夫宇宙和超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数或序数，分别叫做超限基数和超限序数。术语“超限”（ transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（ infinite）和那些只不过不是有限（ finite）的那些对象有关的某些暗含。当时其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语“超限”仍在使用。超穷序数可以确定超穷基数，并导出阿列夫数序列。对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不像有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。最小超限序数是ω。第一个超限基数是 aleph-0，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是 aleph-1。如果不成立，则有很多不可比较于 aleph-1并大于 aleph-0的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于 aleph-0并小于 aleph-1。任何势少于自然数的集合称为有限集合。任何势和自然数一样的集合称为可数无限集合。任何势大于自然数的集合称为不可数集合。可数集（ aleph0）：偶(奇)数集，整数集，代数数集，有理数集连续统（可数集的幂集）（ 2 ^ aleph0 )：无理数集，超越数集，实数集， R ^ n中的点集连续统的幂集（ 2 ^( 2 ^ aleph0 )):曲线集...曲线集的幂集！（有人告诉我可能是泛函集）在选择公理下， 2 ^ aleph0
首先说说集合的势。这个可以简单的理解为集合中元素的个数。
例如：集合A{1，2，3，g，c，d}集合A的势为6。
如果两个集合的势相等，我们就说这两个集合是等势的。
再来说说集合的基数。集合A的势为6，势为6的集合有无数个，以所有势为6的集合为元素，组成一个新的集合。新组成的集合就称作集合A的基数。其实这个新的集合也是任意势为6的集合的基数。
下面就说说阿列夫零。
自然数组成一个集合，但是这个集合的元素是无限的。那我们怎么表示自然数的基数呢？
答案就是阿列夫零。
都说这么多了，那就顺便说说阿列夫，不带零哦。
所有的实数组成一个集合，这个集合的基数就记做阿列夫。
那么问题来了。
自然数的基数是阿列夫零，实数的基数是阿列夫。
那么有没有一个集合它的势介于阿列夫零和阿列夫之间？（连续统假设）
别问我，我这么菜一定不知道。
其实谁都不知道，因为在现有的数学体系中这个问题是无法解决的。
等着出现个天才，推翻现在的数学体系吧。解释清楚无穷和连续。
阿列夫数
集合的势
康托尔定义了集合的势，并意识到了无限集合可以有不同的势。
阿列夫数，是一组超穷基数，包括可数集ℵ0，下一个较大的势ℵ1，再下一个较大的势ℵ2⋯
阿列夫数与无限的区别
阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是定义成实数上的最大的极限。
阿列夫数可以比较大小，而无限不能。
基数为ℵ1的集合
基数为ℵ0的集合是可数无穷集，基数比可数无穷集大，又比其他无穷集合小的集合是是实数集吗？
康托尔认为，不存在一个基数大于可数集而小于实数集的集合。
但这只是一个假说，即连续统假说。
如果你能证明这一假说，那么就解决了希尔伯特问题的首个难题 o(*￣▽￣*)ブ
若连续统假说成立
如果连续统假说成立，那么ℵ1就是实数集的基数。
因为实数集与区间(0，1)等势，那么该集合的基数就是
c=2ℵ0
若连续统假说成立，则
ℵ1=c=2ℵ0
无限集势的比较
比较无限集的势的大小，需使用康托尔的判定标准，在比较的两个集合之间建立一一映射。
比如自然数的个数与正偶数和正奇数的个数一样多；(0，1)区间上的实数的个数比自然数多。
自然数集的基数是ℵ0，实数集的基数是ℵ1=2ℵ0 (若连续统假说成立)，显然
ℵ1>ℵ0
康托尔定理：任何集合的幂集的势大于该集合的势。
(0，1)区间上的实数个数和全体实数个数是一样多的，这也就意味着，实数的个数要比自然数多。
结论
自然数和实数趋于无限，两者不能作比较，但对应集合的基数可以作比较，且实数集的基数 2ℵ0比自然数集的基数ℵ0要大。
（∞）=aleph（∞+1），这叫 GCH...
从aleph 0 ~aleph 1 ~aleph (∞）~alephϕ
ℵ0(S)=ℵ(S)，其中 S∈Ordβ且β∈Ord
3.2.ℵα(1ϕℵα+1(S))=ℵα+1(S)
3.3.若λ为极限序数，则对α<λ都有ℵα(1ϕℵλ(S))=ℵλ(S)
4.1.ℵ(αϕ0)(S)=ℵα(S)，
4.2.∀δ<α，∀η<β，若λ<ℵ(S，αϕβ，γϕ0)(S)则
ℵ(S，δϕβ，λϕη)(1ϕℵ(S，αϕβ，γϕ0)(S))=ℵ(S，αϕβ，γϕ0)(S)
并且∀δ<γ，ℵ(S，αϕβ，δϕ0)(1ϕℵ(S，αϕβ，γϕ0)(S))=ℵ(S，αϕβ，γϕ0)(S)
5.1.ℵ(S)0(S)=ℵ(S)(S)
5.2.若λ<ℵ(S，αϕβ，γϕ0)α+1(S)则ℵ(1ϕλ)α(1ϕℵ(S，αϕβ，γϕ0)α+1(S))=ℵ(S，αϕβ，γϕ0)α+1(S)
5.3.若α为极限序数，则对β<α都有ℵ(1ϕλ)β(1ϕℵ(S，αϕβ，γϕ0)α(S))=ℵ(S，αϕβ，γϕ0)α(S)
6.1.ℵ(S)(αϕ0)(S)=ℵ(S)α(S)
6.2.∀δ<α，∀η<β，若λ<ℵ(S)(S，αϕβ，γϕ0)(S)则
ℵ(1ϕλ)(S，δϕβ，λϕη)(1ϕℵ(S)(S，αϕβ，γϕ0)(S))=ℵ(S)(S，αϕβ，γϕ0)(S)
ℵ（S，αϕβ，δϕ0）（1ϕℵ（S）
（1ϕλ）（S）
αϕβ，γϕ0）
=ℵ（S，αϕβ，γϕ0）（S）
（S）
设a(0)=阿列夫不动点。那么a(n)表示第1+n个阿列夫不动点。其中迭代同于φ序数。
如a(1，1)=a(0，a(0，a(0，……a(1，0)+1……)))
a(S，α+1，Z，0)=a(S，α，a(S，α……a(S，α，Z，0)……，Z)，Z)等等。去看φ序数迭代，把函数名换成a就行了。
那么就有a(1)=sup{阿列夫不动点+1，阿列夫(阿列夫不动点+1)，阿列夫(阿列夫(阿列夫不动点+1))，阿列夫(阿列夫(阿列夫(阿列夫不动点+1)))……}，a2同理。
阿列夫不动点是阿列夫(阿列夫(阿列夫……(阿列夫零)……))(一共有阿列夫零个阿列夫)，那么阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫零(阿列夫一个阿列夫)对应哪个，答案是a(阿列夫一)(第阿列夫一个阿列夫不动点)，并且该基数共尾度不是阿列夫零，是阿列夫一，而不是多少个阿列夫都是阿列夫不动点(a0)。同样的，阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫零(阿列夫二个阿列夫)是a(阿列夫二）
同样，a(阿列夫n)就是相当于把阿列夫连续写阿列夫n次。同样，a(1，0)，就是阿列夫不动点的枚举不动点。也是α→阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫零(α个阿列夫)不动点。可以这样表示a(1，0)，它是数列阿列夫零，阿列夫不动点，阿列夫不动点个阿列夫，阿列夫不动点个阿列夫个阿列夫……的极限……，也就是阿列夫阿列夫……阿列夫的个数堆叠，上一层的阿列夫数量是下一层的结果，一共有阿列夫零层。a(1，阿列夫1)则是相当于有阿列夫一层，a(1，阿列夫n)，就是有阿列夫n层。
同样的，a(2，0)因为需要a(2，0)层，所以是阿列夫层数不动点。是以上的阿列夫零，阿列夫零层阿列夫，阿列夫零层阿列夫层阿列夫，阿列夫零层阿列夫层阿列夫层阿列夫……的极限，同样的，我们把以上的n层阿列夫叫塔，那么a(2，0)则是有阿列夫零座塔，前一座的层数都由后面一座的结果得出。同样的a(2，阿列夫1)则是这样的塔有阿列夫一座，a(2，阿列夫n)就有阿列夫n座，直到a(3，0)=a(2，a(2，a(2，……a(2，0)……)))，因为它的塔数还是有a(3，0)座，所以是塔数不动点。但是我们再把n座阿列夫塔叫直塔，那么a(3，0)则是阿列夫零层直塔，每一层的直塔的塔数由上一层得出，同样a(3，阿列夫1)是阿列夫一层直塔，a(4，0)又是阿列夫直塔不动点。
如果我们把阿列夫阿列夫……阿列夫零(n个阿列夫)写成阿列夫^阿列夫的形式。那么阿列夫不动点只是阿列夫零^阿列夫零。我们设^的迭代与超运算一样。如↑↑是连续的^等等。
同样的迭代，变成阿列夫零↑↑↑↑↑↑阿列夫零就是a(4，0)，阿列夫零→阿列夫零→7就是a(5，0)，阿列夫零→阿列夫零→8就是a(6，0)，那么到阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零就是a(ω，0)，怎么表示呢？就是阿列夫零，阿列夫ω，阿列夫不动点，阿列夫个数不动点，阿列夫层数不动点，阿列夫塔数不动点，阿列夫直塔数不动点……的极限，或者就是省略号迭代，再省略号迭代，到阿列夫零，一共有阿列夫零步，也就是斜省略号的指数是阿列夫零。同样的，阿列夫零→阿列夫零→阿列夫一就是有阿列夫一步，斜省略号指数是阿列夫一，就是a(阿列夫1，0)。而a(1，0，0)=a(a(a(a(……a(1，0)……，0)，0)，0)，0)，同上迭代写成阿列夫零→阿列夫零→阿列夫零→2，如果设阿列夫阿列夫……阿列夫零(n个阿列夫)={阿列夫零，n}，扩展BEAF数阵，那么a(1，0，0)={ω，ω，1，2}，等价于斜省略号的指数的指数……的指数是阿列夫零(这里有阿列夫零个指数)，因为葛立恒函数的增长相当于{n，n，1，2}，那么a(1，0，0)也可以叫做“葛立恒基数”。可数序数Γ0也可以叫他做“葛立恒序数”，因为增长率都是ω+1。
同样的，a(1，1，0)={ω，ω，2，2}，这个写成阿列夫高德纳也很吃惊了，a(2，0，0)={ω，ω，1，3}，a(1，0，0，0)={ω，ω，ω，1，2}，这个写成阿列夫康威链堆叠有阿列夫零层，a(1@4)={ω，ω，ω，ω，1，2}，a(1@ω)={ω，ω(1)2}，最后{ω，ω，2(1)2}也就是a基数的极限了。这个阿列夫数容你想象一下有多
0.取基本列原则
1.如果α是极限序数，那么函数(α)[a]=函数(α[a])
2.函数(函数(...函数(函数(α))...))取基本列时，函数(函数(...函数(函数(α))...))[0]=α，函数(函数(...函数(函数(α))...))[a+1]=函数(函数(函数(...函数(函数(α))...))[a])
3.外函数(函数(函数(...函数(函数(α))...)))取基本列时，外函数(函数(函数(...函数(函数(α))...)))[a]=外函数(函数^a(a))
1.Admissible Ordinal Numbers
1.ф(0)=ф_Ω(0)=1
2.如果α>0，那么ф_Ω_(α⁺)(0)=Ω_α
3.ф_Ω_α(β)=ф_Ω_α(0)×ω^β
4.ф_Ω_α(函数(Ω_α))=ф_Ω_α(函数(ф_Ω_α(函数(...ф_Ω_α(函数(ф_Ω_α(函数(0))))...))))
5.ф_Ω_α(Ω_α×β+(γ⁺))=ф_Ω_α(Ω_α×β+γ&Ω_α×β)
6.ф_Ω_α(β&γ)=ф_Ω_α(β)×ω^γ
7.β为极限序数且不是容许序数，ф_Ω_α(β)=sup(ф_Ω_α(γ)|γ<β)，例如:ф(Ω_ω^Ω_ω)=sup{ф(Ω_ω^Ω_α)|α<ω}
注:Ω_α=ω_αᶜᵏ
补层规则:1.如果α<β，那么ф_α(ф_β(函数(α)))=ф_α(ф_β(函数(ф_α(ф_β(函数(...ф_α(ф_β(函数(ф_α(ф_β(函数(0))))...))))))
2.如果α<γ<β，那么ф_α(ф_β(函数(γ)))=ф_α(ф_γ(ф_β(函数(γ))))
3.如果α<β，那么ф_α(函数(β))=ф_α(函数(ф_β(函数(ф_β(函数(...ф_β(函数(ф_β(函数(0))))...))))))
2.Recursive Inaccessible Ordinal Numbers
1.ф_I(0)=ω
2.ф_I_(α⁺)(0)=I_α
3.ф_I_α(β)=ф_I_α(0)后面第β个广义容许序数(指容许序数和奇异容许序数的统称，奇异容许序数指基本列由容许序数构成但不是容许序数的序数，例如Ω_ω)
4.ф_I_α(函数(I_α))=ф_I_α(函数(ф_I_α(函数(...ф_I_α(函数(ф_I_α(函数(0))))...))))
5.ф_I_α(I_α×β+(γ⁺))=ф_I_α(I_α×β+γ&I_α×β)
6.ф_I_α(β&γ)=ф_I_α(β)后面第γ个广义容许序数
7.β为极限序数且不是容许序数，ф_I_α(β)=sup(ф_I_α(γ)|γ<β)，例如:ф(Ω_(I+ω)×Ω_(I+ω))=sup{ф(Ω_(I+ω)×Ω_(I+α))|α<ω}
补层规则适用.
3.Recursive Mahlo Ordinal Numbers
1.ф(0)=ф_M(0)=1
2.如果α>0，那么ф_M_(α⁺)(0)=M_α
3.ф_M_α(β)=ф_M_α(0)×ω^β
4.ф_M_α(函数(M_α))=β→ф_M_α(函数(β))的第1个容许点
5.ф_M_α(M_α×β+(γ⁺))=ф_M_α(M_α×β+γ&M_α×β)
6.ф_M_α(β&γ)=ф_M_α(β)×ω^γ
7.β为极限序数且不是容许序数，ф_M_α(β)=sup{ф_M_α(γ)|γ<β}，例如:ф_M(M_ω+M_ω)=sup{ф_M(M_ω+M_α)|α<ω}
8.ф_ф_M_α(函数(M_α))(β)=ф_M_α(函数(β))
ф_M(α)=ω^α
9.ф_ф_M_α(M_α×(β⁺)+γ)(γ)=ф_ф_M_α(M_α×(β⁺)+γ)(0)后面的ф_M_α(M_α×β+γ)
10.ф_ф_M_α(函数(M_α))(函数₁(ф_M_α(函数(M_α))))=ф_ф_M_α(函数(M_α))(函数₁(ф_ф_M_α(函数(M_α))(函数₁(...ф_ф_M_α(函数(M_α))(函数₁(ф_ф_M_α(函数(M_α))(函数₁(0))))...))))
11.ф_ф_M_α(M_α×β+γ)(ф_M_α(M_α×β+γ)×δ+(ε⁺))=ф_ф_M_α(M_α×β+γ)(ф_M_α(M_α×β+γ)×δ+ε&ф_M_α(M_α×β+γ)×δ)
12.ф_ф_M_α(M_α×(β⁺)+γ)(δ&ε)=ф_ф_M_α(M_α×(β⁺)+γ)(δ)后面的ф_M_α(M_α×β+ε)
13.ф_M_α(M_α×β+(γ⁺))=ф(M_α×β+γ&M_α×β)
14.γ为极限序数且不是容许序数，ф_ф_M_α(β)(γ)=sup{ф_M_α(δ)|δ<γ}，例如:ф_ф_M(M)(ф_M(M+ω)&ф_M(M+ω))=sup{ф_ф_M(M)(ф_M(M+ω)&ф_M(M+α))|α<ω}